Question

1．求二項式（${\sqrt{x}$+$\frac{2}{x^2}}$）⁸的展開式中：求：
（1）二項式系數(shù)最大的項；
（2）系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析 （1）二項式系數(shù)最大的項即展開式的中間項，也即第5項，利用通項公式即可得出．
（2）設第r+1項的系數(shù)值最大，則$\left\{\begin{array}{l}{{∁}_{8}^{r}{2}^{r}≥{∁}_{8}^{r-1}•{2}^{r-1}}\\{{∁}_{8}^{r}{2}^{r}≥{∁}_{8}^{r+1}{2}^{r+1}}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（1）二項式系數(shù)最大的項即展開式的中間項，也即第5項，
所求項為T₄₊₁=${∁}_{8}^{4}（\sqrt{x}）^{4}（\frac{2}{{x}^{2}}）^{4}$=$\frac{1120}{{x}^{6}}$．
（2）設第r+1項的系數(shù)值最大，則$\left\{\begin{array}{l}{{∁}_{8}^{r}{2}^{r}≥{∁}_{8}^{r-1}•{2}^{r-1}}\\{{∁}_{8}^{r}{2}^{r}≥{∁}_{8}^{r+1}{2}^{r+1}}\end{array}\right.$，
∴5≤r≤6，即第6項和第7項的系數(shù)最大，
${T_{5+1}}=C_8^5{（{\sqrt{x}}）^3}{（{\frac{2}{x^2}}）^5}=1792{x^{-\frac{17}{2}}}$，
${T_{6+1}}=C_8^6{（{\sqrt{x}}）^2}{（{\frac{2}{x^2}}）^6}=1792{x^{-11}}$．

點評 本題考查了二項式定理的通項公式及其系數(shù)性質、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．