【題目】如圖，已知圓柱，底面半徑為1，高為2，是圓柱的一個軸截面，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面到達(dá)點(diǎn)，其路徑最短時在側(cè)面留下的曲線記為：將軸截面繞著軸，逆時針旋轉(zhuǎn) 角到位置，邊與曲線相交于點(diǎn).

（1）當(dāng)時，求證：直線平面；

（2）當(dāng)時，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面的法向量，可得結(jié)論；

法二：由已知條件推導(dǎo)出AB⊥A1B1，AB⊥OO1，得到AB⊥平面A1B1C1D1，可得AB⊥B1D1，結(jié)合OP⊥B1D1由此能證明直線B1D1⊥平面PAB．

（2）以所在直線為軸，過點(diǎn)與垂直的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得兩個面的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣AB﹣P的余弦值．

（1）方法一：當(dāng)時，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則有，，，，

，

，.

設(shè)平面的法向量為，則，

可取，得，，.

所以直線平面.

方法二：在正方形中，，，∴，

平面，又平面

所以，又，，，平面

所以直線平面.

（2）當(dāng)時，以所在直線為軸，過點(diǎn)與垂直的直線為軸，所在的直線為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

可得，所以，

設(shè)平面的法向量為，則

，可取，得，

又平面的一個法向量為，則

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并取相同的單位長度，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）過點(diǎn)作直線的垂線交曲線于兩點(diǎn)，求.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸為非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系相同的長度單位.圓的方程為被圓截得的弦長為.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）設(shè)圓與直線交于點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段A1C1上，則直線OE與平面A1BC1所成角的正弦值的取值范圍是（　�。�

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動的民間藝術(shù)；蘊(yùn)含了極致的數(shù)學(xué)美和豐富的傳統(tǒng)文化信息，現(xiàn)有一幅剪紙的設(shè)計圖，其中的4個小圓均過正方形的中心，且內(nèi)切于正方形的兩鄰邊.若在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黑色部分的概率為（ ）

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著科技的發(fā)展，近年看電子書的國人越來越多；所以近期有許多人呼呼“回歸紙質(zhì)書”，目前出版物閱讀中紙質(zhì)書占比出現(xiàn)上升現(xiàn)隨機(jī)選出200人進(jìn)行采訪，經(jīng)統(tǒng)計這200人中看紙質(zhì)書的人數(shù)占總?cè)藬?shù).將這200人按年齡分成五組：第l組，第2組，第3組，第4組，第5組，其中統(tǒng)計看紙質(zhì)書的人得到的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求的值及看紙質(zhì)書的人的平均年齡；

（2）按年齡劃分，把年齡在的稱青壯年組，年齡在的稱為中老年組，若選出的200人中看電子書的中老年人有10人，請完成下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為看書方式與年齡層有關(guān)？

看電子書

看紙質(zhì)書

合計

青壯年

中老年

合計

附：（其中）.

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知動圓與軸相切，且與圓：外切；

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）若直線過定點(diǎn)，且與軌跡交于、兩點(diǎn)，與圓交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)到直線的距離為，求的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（I）若為曲線上的動點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，，且直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】記設(shè)，則（ ）

A. 存在

B. 存在

C. 存在

D. 存在

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案