Question

5．如圖，四棱錐中，AB∥CD，BC⊥CD側面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（1）證明：SD⊥平面SAB；
（2）求二面角A-SB-C的平面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點E，連結DE，SE，則四邊形BCDE為矩形，推導出SD⊥SA，SD⊥SE，由此能證明SD⊥平面SAB．
（2）過點S作SG⊥DE于G，推導出AB⊥平面SDE，從而平面SDE⊥平面ABCD，進而SG⊥平面ABCD，過點A作AH⊥平面SBC于H，取SB中點F，連結AF，F(xiàn)H，則∠AFH為二面角A-SB-C的平面角，由此能求出二面角A-SB-C的平面角的正弦值．

解答 證明：（1）取AB的中點E，連結DE，SE，則四邊形BCDE為矩形．
即DE=CB=2，AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵側面SAB為等邊三角形，∴SA=SB=AB=2，且SE=$\sqrt{3}$，
又∵SD=1，∴SA²+SD²=AD²，SE²+SD²=ED²，
∴SD⊥SA，SD⊥SE，而SA?面SAB，SE?面SAB，SA∩SE=S，
∴SD⊥平面SAB．------（5分）
解：（2）過點S作SG⊥DE于G，
∵AB⊥SE，AB⊥DE，SE∩DE=E，∴AB⊥平面SDE，
又∵AB⊥平面ABCD，∴平面SDE⊥平面ABCD，
由平面與平面垂直的性質，知SG⊥平面ABCD，
在Rt△DSE中，由SD•SE=DE•SG，得1×$\sqrt{3}$=2×SG，∴SG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
過點A作AH⊥平面SBC于H，取SB中點F，連結AF，F(xiàn)H，
則∠AFH為二面角A-SB-C的平面角，
∵CD∥AB，AB⊥平面SDE，∴CD⊥平面SDE，∴CD⊥SD，
在Rt△CDS中，由CD=SD=1，得SC=$\sqrt{2}$．
在△SBC中，SB=BC=2，SC=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△SBC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
由V_A-SBC=V_S-ABC，得$\frac{1}{3}{S}_{△SBC}•AH=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•SG$，
即$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{7}}{2}×AH=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$，解得AH=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∴sin∠AFH=$\frac{AH}{AF}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴二面角A-SB-C的平面角的正弦值為$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．---（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、函數與方思想、數形結合思想，是中檔題．