Question

【題目】已知關(guān)于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整數(shù)解有且僅有一個(gè)值為2．
（Ⅰ）求整數(shù)m的值；
（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a4+4b4+4c4=m，求a2+b2+c2的最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）由|2x﹣m|≤1，得 ．∵不等式的整數(shù)解為2，∴ 3≤m≤5． 又不等式僅有一個(gè)整數(shù)解2，∴m=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m=4，故a4+b4+c4=1，
由柯西不等式可知；（a2+b2+c2）2≤（12+12+12）[（a2）2+（b2）2+（c2）2]
所以（a2+b2+c2）2≤3，即 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，最大值為
【解析】（Ⅰ）由條件可得 ，求得3≤m≤5．根據(jù)不等式僅有一個(gè)整數(shù)解2，可得整數(shù)m的值．（Ⅱ）根據(jù)a4+b4+c4=1，利用柯西不等式求得（a2+b2+c2）2≤3，從而求得a2+b2+c2的最大值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用絕對(duì)值不等式的解法和二維形式的柯西不等式的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)；二維形式的柯西不等式：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．