Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且， ，在數(shù)列中， ， ， ．

（1）求證： 是等比數(shù)列；

（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）利用遞推關(guān)系可得，由等比數(shù)列的定義即可得出結(jié)論；（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，根據(jù)裂項(xiàng)求和方法即可得出；（3）時(shí)， 時(shí)， ，綜上，可得，再利用錯(cuò)位相減法及分組求和法即可得結(jié)果.

試題解析：(1) 證明： 且

是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列 .

(2) 由(1)知 ，

所以 ，

則 ，

.

(3) 時(shí) ,

時(shí) ,

綜上 ,

，解得

.

【方法點(diǎn)晴】裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，掌握一些常見的裂項(xiàng)技巧：①；②

；③；

④ ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.