Question

【題目】1979年，李政道博士給中國(guó)科技大學(xué)少年班出過(guò)一道智趣題：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡覺(jué)，準(zhǔn)備第二天再分，夜里1只猴子偷偷爬起來(lái)，先吃掉一個(gè)桃子，然后將其分成5等份，藏起自己的一份就去睡覺(jué)了；第2只猴子又爬起來(lái)，將剩余的桃子吃掉一個(gè)后，也將桃子分成5等份；藏起自己的一份睡覺(jué)去了；以后的3只猴子都先后照此辦理，問(wèn)：最初至少有多少個(gè)桃子？最后至少剩下多少個(gè)桃子？

Answer 1

【答案】最初至少有桃子個(gè)，從而最后至少剩下個(gè).

【解析】試題分析：

將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列的遞推關(guān)系的題目，然后結(jié)合遞推關(guān)系式討論可得最初至少有桃子個(gè)，從而最后至少剩下個(gè).

試題解析：

假如我們?cè)O(shè)最初有個(gè)桃子，猴子每次分剩下的桃子依次為，得到一個(gè)數(shù)列，依題意，可知數(shù)列的遞推公式： ，即，

整理變形，得.

故是以為公比的等比數(shù)列，所以，

欲使，應(yīng)有，

故最初至少有桃子個(gè)，從而最后至少剩下個(gè).