Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}^{2}}{n+1}$，n∈N^*．
（Ⅰ）證明：
（i）a_n+1＜a_n≤1；
（ii）a_n≤$\frac{1}{n}$；
（Ⅱ）證明：a₁+a₂+…+a_n＜$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過寫出數(shù)列的前幾項即得結論；
（Ⅱ）通過（I）可知，當n≤3時顯然成立，當n≥4時通過放縮可知a_n≤$\frac{1}{24}$•$\frac{1}{{2}^{n-4}}$，進而利用等比數(shù)列的求和公式計算即得結論．

解答 證明：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}^{2}}{n+1}$，
∴a₂=$\frac{1}{2}$${{a}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{2}$，
a₃=$\frac{2}{3}$${{a}_{2}}^{2}$=$\frac{1}{6}$，
a₄=$\frac{3}{4}$${{a}_{3}}^{2}$=$\frac{1}{48}$，
…
∴a_n+1＜a_n≤1、a_n≤$\frac{1}{n}$；
（Ⅱ）由（I）可知，a₁+a₂+a₃=$\frac{5}{3}$＜$\frac{7}{4}$，
當n≥4時，a_n≤$\frac{1}{24}$•$\frac{1}{{2}^{n-4}}$，
即a₁+a₂+…+a_n＜$\frac{5}{3}$+$\frac{1}{24}$•$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-4}}}{1-\frac{1}{2}}$＜$\frac{5}{3}$+$\frac{1}{12}$=$\frac{7}{4}$，
綜上所述，a₁+a₂+…+a_n＜$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查分類討論的思想，涉及放縮法、歸納推理等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．