Question

17．在2015-2016賽季CBA聯(lián)賽中，某隊甲、乙兩名球員在前10場比賽中投籃命中情況統(tǒng)計如下表（注：表中分數(shù)$\frac{n}{N}$，N表示投籃次數(shù)，n表示命中次數(shù)），假設各場比賽相互獨立．

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
甲	$\frac{5}{13}$	$\frac{4}{12}$	$\frac{14}{30}$	$\frac{5}{9}$	$\frac{14}{19}$	$\frac{10}{16}$	$\frac{12}{23}$	$\frac{4}{8}$	$\frac{6}{13}$	$\frac{10}{19}$
乙	$\frac{13}{26}$	$\frac{9}{18}$	$\frac{9}{14}$	$\frac{8}{16}$	$\frac{6}{15}$	$\frac{10}{14}$	$\frac{7}{21}$	$\frac{9}{16}$	$\frac{10}{22}$	$\frac{12}{20}$

根據(jù)統(tǒng)計表的信息：
（Ⅰ）從上述比賽中等可能隨機選擇一場，求甲球員在該場比賽中投籃命中率大于0.5的概率；
（Ⅱ）試估計甲、乙兩名運動員在下一場比賽中恰有一人命中率超過0.5的概率；
（Ⅲ）在接下來的3場比賽中，用X表示這3場比賽中乙球員命中率超過0.5的場次，試寫出X的分布列，并求X的數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，利用列舉法能求出甲球員的投籃命中率超過0.5的概率和乙球員投籃命中率超過0.5的概率．
（Ⅱ）設在一場比賽中，甲、乙兩名運動員恰有一人命中率超過0.5為事件A，甲隊員命中率超過0.5且乙隊員命中率不超過0.5為事件B₁，乙隊員命中率超過0.5且甲隊員命中率不超過0.5為事件B₂．由P（A）=P（B₁）+P（B₂），能求出甲、乙兩名運動員在下一場比賽中恰有一人命中率超過0.5的概率．
（Ⅲ）X的可能取值為0，1，2，3，且B～B（3，$\frac{2}{5}$），由此能求出X的分布列及數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，
甲球員投籃命中率超過0.5的場次有5場，分別是4，5，6，7，10，
所以在隨機選擇的一場比賽中，
甲球員的投籃命中率超過0.5的概率是$\frac{1}{2}$．
在10場比賽中，乙球員投籃命中率超過0.5的場次有4場，分別是3，6，8，10，
所以在隨機選擇的一場比賽中，乙球員的投籃命中率超過0.5的概率是$\frac{2}{5}$．3分
（Ⅱ）設在一場比賽中，甲、乙兩名運動員恰有一人命中率超過0.5為事件A，
甲隊員命中率超過0.5且乙隊員命中率不超過0.5為事件B₁，
乙隊員命中率超過0.5且甲隊員命中率不超過0.5為事件B₂．
則P（A）=P（B₁）+P（B₂）=$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}+\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$=$\frac{1}{2}$．7分
（Ⅲ）X的可能取值為0，1，2，3．
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{2}{5}）^{0}（\frac{3}{5}）^{3}$=$\frac{27}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）^{2}=\frac{54}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{3}{5}）$=$\frac{36}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{5}）^{3}$=$\frac{8}{125}$，
X的分布列如下表：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

∵X～B（3，$\frac{2}{5}$），∴EX=3×$\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．