Question

8．過(guò)拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2），M為拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則M到直線(xiàn)1₁：5x-4y+4=0和l₂：x=-$\frac{2}{5}$的距離之和的最小值為（　　）

• A． $\frac{6\sqrt{41}}{41}$
• B． $\frac{6\sqrt{31}}{31}$
• C． $\frac{3\sqrt{41}}{41}$
• D． $\frac{3\sqrt{31}}{31}$

Answer 1

分析 可以求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可以寫(xiě)出弦AB所在直線(xiàn)方程為y=x-$\frac{p}{2}$，可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線(xiàn)AB的方程和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去x可得到關(guān)于y的一元二次方程，由韋達(dá)定理即可求出弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3p}{2}$，p），而弦AB的垂直平分線(xiàn)方程可寫(xiě)出為y-2=-x，弦中點(diǎn)坐標(biāo)帶入該方程便可求出p的值．過(guò)點(diǎn)M分別作MB⊥l₁，MA⊥l₂，垂足分別為B，A．由拋物線(xiàn)的定義可得|MA|=|MF|，求|MA|+|MB|轉(zhuǎn)化為求|MB|+|MF|，當(dāng)三點(diǎn)M，B，F(xiàn)共線(xiàn)時(shí)，|MB|+|MF|取得最小值．利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解即可．

解答 解：拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），過(guò)焦點(diǎn)F且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線(xiàn)方程為：y=x-$\frac{p}{2}$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
由$\left\{\begin{array}{l}{x=y+\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$得，y²-2py-p²=0；
∴y₁+y₂=2p，x₁+x₂=3p；
∴弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3p}{2}$，p）
弦AB的垂直平分線(xiàn)方程為y-2=-x，弦AB的中點(diǎn)在該直線(xiàn)上；
∴p-2=-$\frac{3p}{2}$，解得p=$\frac{4}{5}$．
（2）過(guò)點(diǎn)M分別作MB⊥l₁，MA⊥l₂，垂足分別為B，A．l₂：x=-$\frac{2}{5}$是拋物線(xiàn)y²=$\frac{8}{5}$x的準(zhǔn)線(xiàn)方程．
拋物線(xiàn)y²=$\frac{8}{5}$x的焦點(diǎn)為F（$\frac{2}{5}$，0），
由拋物線(xiàn)的定義可得|MA|=|MF|，
∴|MA|+|MB|=|MB|+|MF|，當(dāng)三點(diǎn)M，B，F(xiàn)共線(xiàn)時(shí)，|MA|+|MB|取得最小值．
其最小值為點(diǎn)F到直線(xiàn)l₁的距離$\frac{6}{\sqrt{25+16}}$=$\frac{6\sqrt{41}}{41}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程、定義及其性質(zhì)、三點(diǎn)共線(xiàn)、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．