Question

18．已知直線l₁：$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}$（t為參數(shù)），圓C₁：（x-${\sqrt{3}$）²+（y-2）²=1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立直角坐標(biāo)系．
（1）求圓C₁的極坐標(biāo)方程，直線l₁的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)l₁與C₁的交點(diǎn)為M，N，求△C₁MN的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$，求出極坐標(biāo)方程即可；（2）求出$|{{ρ_1}-{ρ_2}}|=\sqrt{3}$，從而求出三角形的面積即可．

解答 解：（1）因?yàn)?\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$，將其代入C₁展開整理得：
${ρ^2}-2\sqrt{3}ρcosθ-4ρsinθ+6=0$，
∴圓C₁的極坐標(biāo)方程為：${ρ^2}-2\sqrt{3}ρcosθ-4ρsinθ+6=0$，
l₁消參得$tanθ=\sqrt{3}⇒θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R），
∴直線l₁的極坐標(biāo)方程為：$⇒θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R）．
（2）$\left\{\begin{array}{l}θ=\frac{π}{3}\\{ρ^2}-2\sqrt{3}ρcosθ-4ρsinθ+6=0\end{array}\right.$
⇒${ρ^3}-3\sqrt{3}ρ+6=0$⇒$|{{ρ_1}-{ρ_2}}|=\sqrt{3}$，
∴${S_{△{C_1}MN}}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程以及普通方程的轉(zhuǎn)化，考查求三角形的面積，是一道中檔題．