Question

如圖所示，一個半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，，，現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個三角形，使得，.

(1)設(shè)，求三角形鐵皮的面積；

(2)求剪下的鐵皮三角形的面積的最大值.

 

 

Answer 1

（1）三角形鐵皮的面積為；（2）的面積的最大值為.

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)題中條件得出，，，最后根據(jù)三角形的面積計算公式即可得到所求的三角形的面積；（2）先引入角度作為變量，即設(shè)，進而根據(jù)（1）中思路求出，到此用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，進行換元，令，先確定的取值范圍，進而得到，從而，根據(jù)求出的的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可確定的最大值.

（1）由題意知

，即三角形鐵皮的面積為

（2）設(shè)則，，

令，由于，則有所以

且，所以

故

而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增

故當(dāng)時，取得最大值.

考點：1.三角函數(shù)的實際應(yīng)用；2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；3.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；4.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì).