Question

將二項(xiàng)式（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展開(kāi)開(kāi)式按x的降冪排列，若前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開(kāi)式中x的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有（　�。﹤�(gè)．

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理

專題：二項(xiàng)式定理

分析：寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，利用前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求出n，進(jìn)而可求展開(kāi)式中x的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1=

C

r n

•(

1

2

)r•x

2n-3r

4

，故展開(kāi)開(kāi)式按x的降冪排列，前三項(xiàng)系數(shù)分別為1，

n

2

，

n(n-1)

8

，
再根據(jù)前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，可得2×

n

2

=1+

n(n-1)

8

，求得n=8，
∴當(dāng)n=8時(shí)，T_r+1=

C

r 8

•(

1

2

)r•x

16-3r

4

，（r=0，1，2，…，8），
∴r=0，4，8時(shí)，展開(kāi)式中x的指數(shù)是整數(shù)，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式，考查等差數(shù)列的運(yùn)用，考查展開(kāi)式的特殊項(xiàng)，確定n是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．