Question

（1）已知-1≤x＜2，求函數(shù)f（x）=3+2•3^x+1-9^x的值域
（2）已知f（x）=log₃x，x∈[1，9]，求函數(shù)y=f²（x）+f（x²）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令3^x=t，求出t的范圍，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，配方，求出值域；
（2）令t=log₃x，求出t的范圍，注意x²∈[1，9]，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，配方，求出值域．

解答： 解：（1）∵-1≤x＜2，∴

1

3

≤3^x＜9，
令3^x=t，則y=3+6t-t²=-（t-3）²+12，
故當(dāng)t=3∈[

1

3

，9），y取最大值，且為12，
當(dāng)t=9時(shí)，y=12-36=-24，
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?24，12]；
（2）∵f（x）=log₃x，x∈[1，9]，
∴y=f²（x）+f（x²）=（log₃x）²+log₃x²=（log₃x）²+2log₃x，
∴有x²∈[1，9]，則x∈[1，3]，
令t=log₃x∈[0，1]，則y=t²+2t=（t+1）²-1，
當(dāng)t=0時(shí)取最小值0，當(dāng)t=1時(shí)取最大值3．
故函數(shù)的值域?yàn)閇0，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，考查換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，注意定義域，是易錯(cuò)題．