Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由倍角公式化簡(jiǎn)可得f（x）=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，由2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）利用正弦定理可得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，化簡(jiǎn)可得cosB=

1

2

，B=

π

3

，0＜A＜

2π

3

從而得到

A

2

+

π

6

 的范圍，進(jìn)而得到函數(shù)f（A）的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，
∴由2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是：[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（A）=sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

，
∵由條件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB，
∴則sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，又0＜B＜π，
∴B=

π

3

．
∴可得0＜A＜

2π

3

，
∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，
∴

1

2

＜sin（

A

2

+

π

6

）＜1，
故函數(shù)f（A）的取值范圍是（1，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)性質(zhì)及簡(jiǎn)單的三角變換，要求學(xué)生能正確運(yùn)用三角函數(shù)的概念和公式對(duì)已知的三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題．