Question

某網(wǎng)店經(jīng)營的一紅消費品的進價為每件12元，周銷售量p（件）與銷售價格x（元）的關系，如圖中折線所示，每周各項開支合計為20元．
（1）寫出周銷售量p（件）與銷售價格x（元）元的函數(shù)關系式；
（2）寫出利潤周利潤y（元）與銷售價格x（元）的函數(shù)關系式；
（3）當該消費品銷售價格為多少元時，周利潤最大？并求出最大周利潤．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的圖象

專題：應用題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象為分段函的圖象，所以應求12≤x≤20，與20＜x≤28兩部分的解析式，由圖象上的點分別代入p=ax+b，求出即可；
（2）利用周銷售量與利潤的積，可得利潤周利潤y（元）與銷售價格x（元）的函數(shù)關系式；
（3）根據(jù)（2）分段求最值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題設知，當12≤x≤20時，設p=ax+b，
則

12a+b=26 20a+b=10

，∴a=-2，b=50
∴p=-2x+50，
同理得，當20＜x≤28時，p=-x+30，
所以p=

-2x+50，12≤x≤20 -x+30，20＜x≤28

；
（2）當12≤x≤20時，y=（x-12）（-2x+50）=-2x²+74x-620；
當20＜x≤28時，y=（x-12）（-x+30）-20=-x²+42x-380；
∴y=

-2x2+74x-620，12≤x≤20 -x2+42x-380，20＜x≤28

；
（3）當12≤x≤20時，y=（x-12）（-2x+50）=-2x²+74x-620，
∴x=

37

2

時，y取得最大值

129

2

；
當20＜x≤28時，y=（x-12）（-x+30）-20=-x²+42x-380，
∴x=21時，y取得最大值61；
∵

129

2

＞61，
∴該消費品銷售價格為

37

2

時，周利潤最大，最大周利潤為

129

2

．

點評：本題是一道綜合題，難度較大．重點考查了一次函數(shù)圖象和實際應用相結(jié)合的問題，能夠從圖象上準確地獲取信息，本題中p與x的關系是分段的，要注意對應，這是做本題的關鍵．