Question

12．設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，當x≠0時，f（x）＜-$\frac{x}{2}$f′（x），則函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{x^2}$的零點個數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 0或 2

Answer 1

分析 令m（x）=x²f（x），根據(jù)當x≠0時，f（x）＜-$\frac{x}{2}$f′（x），求出m（x）的單調(diào)性，令h（x）=x²g（x）=x²f（x）-1，求出h（x）的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的零點的個數(shù)．

解答 解：∵滿足當x≠0時，f（x）＜-$\frac{x}{2}$f′（x），
∴2f（x）+xf′（x）＜0，
令m（x）=x²f（x），則g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
∴當x＞0時，g′（x）＜0；當x＜0時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）遞減，在（-∞，0）遞增，
令h（x）=x²g（x）=x²f（x）-1，
則h′（x）=m′（x），
∴當x＞0時，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；當x＜0時，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，
∴h（x）的最大值是h（0）=-1，
顯然g（x）的定義域是x≠0，
∴關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{{x}^{2}}$的零點個數(shù)是0個．
故選：A．

點評 本題通過構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)零點的個數(shù)，屬于難題．