Question

17．設(shè)拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，過F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，M為拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，若$tan∠AMB=2\sqrt{2}$，則|AB|=（　　）

• A． 4
• B． 8
• C． $3\sqrt{2}$
• D． 10

Answer 1

分析 設(shè)AB方程y=k（x-1），與拋物線方程y²=4x聯(lián)立，利用tan∠AMB=2$\sqrt{2}$，建立k的方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），點(diǎn)M（-1，0），設(shè)直線方程為：y=k（x-1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵$tan∠AMB=2\sqrt{2}$，
∴$\frac{\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}-\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}}{1+\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$，
化簡(jiǎn)整理得：2k（x₁-x₂）=2$\sqrt{2}$（x₁+1）（x₂+1）+2$\sqrt{2}$y₁y₂①，
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁x₂=1，x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}+2$，
y₁y₂=-4，
∴①可轉(zhuǎn)化成：2k（x₁-x₂）=2$\sqrt{2}$（$\frac{4}{{k}^{2}}$），
∴x₁-x₂=$\frac{4\sqrt{2}}{{k}^{3}}$，
∴$（\frac{4}{{k}^{2}}+2）^{2}-4$=$（\frac{4\sqrt{2}}{3}）^{2}$，
∴k=±1，
∴x₁+x₂=6，
丨AB丨=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{36-4}$=8．
故答案選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系及兩角差的正切公式，正確使用韋達(dá)定理，計(jì)算過程繁瑣，屬于中檔題．