Question

4．對于n∈N^*，將n表示為$n={a_0}•{2^k}+{a_1}•{2^{k-1}}+…+{a_{k-1}}•{2^1}+{a_k}•{2^0}$，
當(dāng)i=0時，a_i=1，
當(dāng)1≤i≤k時，a_i=0或1．
記I（n）為上述表示中a為0的個數(shù)（例如：1=1•2⁰，4=1•2²+0•2¹+0•2⁰，所以I（1）=0，I（4）=2），
則（1）I（12）=2，（2）I（1）+I（2）+…+I（2048）=9228．

Answer 1

分析 1）根據(jù)題意，分析可得，將n 表示n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，實(shí)際是將十進(jìn)制的數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制的數(shù)，易得12=1×2³+1×2²+0×2¹+0×2⁰，由I（n）的意義，可得答案；
（2）由組合數(shù)的性質(zhì)，分析其中I（n）的取值情況，與二項(xiàng)式定理結(jié)合，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的前7項(xiàng)和，計算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，12=1×2³+1×2²+0×2¹+0×2⁰，則I（12）=2；
（2）I（1）=0=0•2^-1，I（2）+I（3）=1=1•2⁰，
I（4）+I（5）+I（6）+I（7）=4=2•2¹，
I（8）+I（9）+…+I（15）=12=3•2²…，
所以I（1）+I（2）+…+I（2048）
=0•2^-1+1•2⁰+2•2¹+…+10•2⁹+11=9228，
故答案為：2，9228．

點(diǎn)評 解本題關(guān)鍵在于分析題意，透徹理解I（n）的含義的運(yùn)算，注意轉(zhuǎn)化思想，結(jié)合二項(xiàng)式定理與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行計算．