【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,,上的一點(diǎn).

(1)求證:平面平面;

(2)若的中點(diǎn),,且直線與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)

【解析】

(1)證明ACPC,ACBC,得到AC⊥平面PBC,然后證明平面EAC⊥平面PBC

(2)以C為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,求出面PAC的法向量.面EAC的法向量,然后求解二面角的余弦函數(shù)值.

(1)證明:∵PC⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

ACPCAB=2,ADCD=1,

,∴AC2+BC2AB2,∴ACBC,

BCPCC,∴AC⊥平面PBC,∵AC平面EAC

∴平面EAC⊥平面PBC

2C為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,﹣1,0),

設(shè)P(0,0,a)(a>0),則E,,),

(1,1,0),(0,0,a)(a>0),

,,),(1,1,﹣a),

設(shè)x,yz)為平面PAC的法向量,

,可取(1,﹣1,0)

同理平面EAC的法向量a,﹣a,﹣2),

依題意,設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ,

sinθ=|cos|,

解得a=2,或a=1(舍去,此時(shí)不滿足),

(2,﹣2,﹣2),

∴|cos,|

∴平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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不存在極值;②若的反函數(shù)為,且函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)公共點(diǎn),則;③若上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是;④若,則在的曲線上存在兩點(diǎn),使得過(guò)這兩點(diǎn)的切線互相垂直.

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A. B. C. D.

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(1)求該三棱柱的體積;

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【題目】《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》第47條的相關(guān)規(guī)定:機(jī)動(dòng)車行經(jīng)人行橫道時(shí),應(yīng)當(dāng)減速慢行;遇行人正在通過(guò)人行橫道,應(yīng)當(dāng)停車讓行,俗稱“禮讓斑馬線”,《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》 第90條規(guī)定:對(duì)不禮讓行人的駕駛員處以扣3分,罰款50元的處罰.下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個(gè)月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):

月份

1

2

3

4

5

違章駕駛員人數(shù)

120

105

100

90

85

(1)請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)與月份之間的回歸直線方程;

(2)交警從這5個(gè)月內(nèi)通過(guò)該路口的駕駛員中隨機(jī)抽查了50人,調(diào)查駕駛員不“禮讓斑馬線”行為與駕齡的關(guān)系,得到如下列聯(lián)表:能否據(jù)此判斷有的把握認(rèn)為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關(guān)?

不禮讓斑馬線

禮讓斑馬線

合計(jì)

駕齡不超過(guò)1年

22

8

30

駕齡1年以上

8

12

20

合計(jì)

30

20

50

參考公式及數(shù)據(jù):

.

(其中

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(2)若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,與直線相交于,,均不重合).證明:為定值.

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(1)求橢圓的方程;

(2)已知是橢圓上的兩點(diǎn),是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).

①若直線的斜率為,求四邊形面積的最大值;

②當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí),滿足,試問(wèn)直線的斜率是否為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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