【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,異面直線A1B與B1C1所成的角為60°.
(1)求該三棱柱的體積;
(2)設(shè)D是BB1的中點(diǎn),求DC1與平面A1BC1所成角的正弦值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)如圖,以A點(diǎn)為原點(diǎn),為x,y,z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.利用異面直線A1B與B1C1所成的角為60°求得h=1即得該三棱柱的體積.(2)利用向量法求DC1與平面A1BC1所成角的正弦值.
(1)如圖,以A點(diǎn)為原點(diǎn),為x,y,z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)AA1=h,則B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,h),
則=(-1,0,h),=(-1,1,0).
因?yàn)橹本A1B與B1C1所成的角為60°,
所以|cos<>|=,
解得h=1.
于是三棱柱體積V=Sh=×1×1=.
(2)由(1)知=(-1,0,1),C1(0,1,1),=(-1,1,1).
設(shè)平面A1BC1的法向量n=(x,y,z),
則可取n=(1,0,1).
又因?yàn)镈.
于是sin θ=|cos<,n>|=,
所以DC1與平面A1BC1所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,點(diǎn)在拋物線上,已知以點(diǎn)為圓心, 為半徑的圓交于兩點(diǎn).
(Ⅰ)若, 的面積為4,求拋物線的方程;
(Ⅱ)若三點(diǎn)在同一條直線上,直線與平行,且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》第47條的相關(guān)規(guī)定:機(jī)動(dòng)車行經(jīng)人行橫道時(shí),應(yīng)當(dāng)減速慢行;遇行人正在通過人行橫道,應(yīng)當(dāng)停車讓行,俗稱“禮讓斑馬線”,《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》 第90條規(guī)定:對(duì)不禮讓行人的駕駛員處以扣3分,罰款50元的處罰.下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個(gè)月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
違章駕駛員人數(shù) | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
(1)請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)y與月份之間的回歸直線方程+
(2)預(yù)測(cè)該路口7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù);
(3)交警從這5個(gè)月內(nèi)通過該路口的駕駛員中隨機(jī)抽查了50人,調(diào)查駕駛員不“禮讓斑馬線”行為與駕齡的關(guān)系,得到如下2列聯(lián)表:
不禮讓斑馬線 | 禮讓斑馬線 | 合計(jì) | |
駕齡不超過1年 | 22 | 8 | 30 |
駕齡1年以上 | 8 | 12 | 20 |
合計(jì) | 30 | 20 | 50 |
能否據(jù)此判斷有97.5的把握認(rèn)為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關(guān)?
參考公式及數(shù)據(jù):,.
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(其中n=a+b+c+d)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為,.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓交于,兩點(diǎn),與直線交于點(diǎn)M,且點(diǎn)P,M均在第四象限.若的面積是面積的2倍,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,,,是上的一點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)若是的中點(diǎn),,且直線與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法錯(cuò)誤的是
A. 對(duì)分類變量X與Y,隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k越大,則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越小
B. 在回歸直線方程=0.2x+0.8中,當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量平均增加0.2個(gè)單位
C. 兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值就越接近于1
D. 回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(, )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)同時(shí)滿足:(1)對(duì)于定義域內(nèi)的任意,有;(2)對(duì)于定義域內(nèi)的任意,當(dāng)時(shí),有,則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”.給出下列四個(gè)函數(shù):①;②;③;④.
其中是“理想函數(shù)”的序號(hào)是( )
A.①②B.②③C.②④D.③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某影院共有1000個(gè)座位,票價(jià)不分等次,根據(jù)該影院的經(jīng)營(yíng)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)每張票價(jià)不超過10元時(shí),票可全部售出,當(dāng)每張票價(jià)高于10元時(shí),每提高1元,將有30張票不能售出,為了獲得更好的收益,需給影院一個(gè)合適的票價(jià),符合的基本條件是:
①為了方便找零和算賬,票價(jià)定為1元的整數(shù)倍;
②影院放映一場(chǎng)電影的成本費(fèi)為5750元,票房收入必須高于成本支出.
(1)設(shè)定價(jià)為()元,凈收入為元,求關(guān)于的表達(dá)式;
(2)每張票價(jià)定為多少元時(shí),放映一場(chǎng)的凈收入最多?此時(shí)放映一場(chǎng)的凈收入為多少元?
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【題目】某網(wǎng)站從春節(jié)期間參與收發(fā)網(wǎng)絡(luò)紅包的手機(jī)用戶中隨機(jī)抽取2000名進(jìn)行調(diào)查,將受訪用戶按年齡分成5組: 并整理得到如下頻率分布直方圖:
(1)求的值;
(2)從春節(jié)期間參與收發(fā)網(wǎng)絡(luò)紅包的手機(jī)用戶中隨機(jī)抽取一人,估計(jì)其年齡低于40歲的概率;
(3)估計(jì)春節(jié)期間參與收發(fā)網(wǎng)絡(luò)紅包的手機(jī)用戶的平均年齡.
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