Question

7．已知函數f（x）=|e^x-1|，若存在實數x使得f（x）≤ax-1成立，則正實數a的取值范圍是（　�。�

• A． [1，e]
• B． [e，+∞）
• C． （0，e]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 作出函數f（x）的圖象，求出當x≥0時，函數f（x）的切線方程，利用數形結合進行求解即可．

解答 解：作出函數f（x）的圖象如圖：
當x＞0時，f（x）=e^x-1，
當直線y=ax-1與f（x）在x＞0時相切時，設切點為A（m，e^m-1），
函數的導數f′（x）=e^x，切點處切線斜率k=e^m，
則對應的切線方程為y-（e^m-1）=e^m（x-m），
即y=（e^m-1）+e^mx-me^m=e^mx+e^m（1-m）-1，
∵y=ax-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{m}=a}\\{{e}^{m}（1-m）-1=-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{m}=a}\\{{e}^{m}（1-m）=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{a=e}\end{array}\right.$，
即當e=a時，直線y=ex-1與f（x）相切，此時當x≥0時，
f（x）≥ax-1恒成立，
若存在實數x使得f（x）≤ax-1成立，
則a≥e，
故選：B

點評 本題主要考查函數與方程的應用，求出當x≥0時的過（0，-1）時 的切線方程是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．