Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-b{x^2}+2x-a$，x=2是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，求方程f（x）=0的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （I）利用f′（2）=0即可得出b，再解出f′（x）＞0即可得出其單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為求$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x=a的解的個(gè)數(shù)，令g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x，求出g（x）的極大值和極小值，通過討論a的范圍求出方程的解的個(gè)數(shù)即可．

解答 解：（I）f′（x）=x²-2bx+2，
∵x=2是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，∴f′（2）=2²--4b+2=0，解得b=$\frac{3}{2}$，
∴f′（x）=x²-3x+2，令f′（x）＞0，解得x＜1或x＞2．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1），（2，+∞）；
（Ⅱ）求方程f（x）=0的解的個(gè)數(shù)即求$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x=a的解的個(gè)數(shù)，
令g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x，g′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2），
令g′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴g（x）在（-∞，1），（2，+∞）遞增，在（1，2）遞減，
∴g（x）_極大值=g（1）=$\frac{5}{6}$，g（x）_極小值=g（2）=$\frac{2}{3}$，
a＞$\frac{5}{6}$或0＜a＜$\frac{2}{3}$時(shí)，方程1個(gè)解，
a=$\frac{5}{6}$或$\frac{2}{3}$時(shí)，方程2個(gè)解，
$\frac{2}{3}$＜a＜$\frac{5}{6}$時(shí)，方程3個(gè)解．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，方程根的情況，是一道中檔題．