Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+c，且f（x）＞0的解集是$\left\{{x|x≠\frac{1}{a}}\right\}$．
（1）求f（2）的最小值及f（2）取最小值時f（x）的解析式；
（2）在f（2）取得最小值時，若對于任意的x＞2，f（x）+4≥m（x-2）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+c，且f（x）＞0的解集為{x|x≠$\frac{1}{a}$}，可以函數(shù)開口向上，與x軸有一個交點，從而求解；
（2）由（1）求出f（x）的解析式，對于任意的x∈（2，+∞），f（x）+4≥m（x-2）恒成立，利用常數(shù)分離法，可以將問題轉(zhuǎn)化為[$\frac{1}{2}$（x-2）+$\frac{4}{x-2}$]_min≥m在x∈（2，+∞），恒成立，從而求出m的范圍．

解答 解：（1）由題意可得 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4ac=0}\end{array}\right.$⇒ac=1⇒c＞0
所以f（2）=4a-4+c≥2$\sqrt{4ac}$-4=0，
當(dāng)且僅當(dāng)4a=c即 $\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$時“=”成立，
由a=$\frac{1}{2}$，c=2得：f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+2；
（2）由（1）可得f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+2=$\frac{1}{2}$（x-2）²，
因為對于任意的x∈（2，+∞），f（x）+4≥m（x-2）恒成立，
∴m≤$\frac{1}{2}$（x-2）+$\frac{4}{x-2}$在x∈（2，+∞），恒成立，
故[$\frac{1}{2}$（x-2）+$\frac{4}{x-2}$]_min≥m即可，
又函數(shù)y=$\frac{1}{2}$（x-2）+$\frac{4}{x-2}$在x∈（2，+∞）上遞增，
所以[$\frac{1}{2}$（x-2）+$\frac{4}{x-2}$]_min=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2+2$\sqrt{2}$時“=”成立，
∴m≤2$\sqrt{2}$；

點評 此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，以及解析式的求法，第二問利用了轉(zhuǎn)化的思想，這是高考�？嫉臒狳c問題，本題是一道中檔題．