Question

1．橢圓$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的離心率是$\frac{1}{2}$，橢圓C₁焦點(diǎn)在x軸上并與C具有相同的離心率且過(guò)點(diǎn)$（2，-\sqrt{3}）$，則橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}=1$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，對(duì)于橢圓C，由其標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得a、b的值，計(jì)算可得c的值，由橢圓的離心率公式計(jì)算可得e的值，即可得答案；進(jìn)而可設(shè)橢圓C₁的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1，（m＞n＞0），結(jié)合題意有：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{m}^{2}}+\frac{3}{{n}^{2}}=1}\\{{e}^{2}=\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{{m}^{2}}=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解可得m²與n²的值，代入橢圓的方程即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，對(duì)于橢圓$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
其中a=$\sqrt{4}$=2，b=$\sqrt{3}$，則其c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，
故其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)橢圓C₁的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1，（m＞n＞0），
結(jié)合題意有：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{m}^{2}}+\frac{3}{{n}^{2}}=1}\\{{e}^{2}=\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{{m}^{2}}=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解可得$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=8}\\{{n}^{2}=6}\end{array}\right.$，
故橢圓C₁的方程為 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}=1$；
故答案為：$\frac{1}{2}$； $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，第二空需要依據(jù)題意，設(shè)出橢圓的方程，利用待定系數(shù)法分析．