Question

設直線x-3y+m=0（m≠0）與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別交于A，B，若點P（m，0）滿足|PA|=|AB|，則該雙曲線的離心率是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先求出A，B的坐標，運用中點坐標公式可得AB中點M坐標，利用點P（m，0）滿足|PA|=|PB|，則PM⊥AB，
由兩直線垂直的條件可得PM的斜率為-3，從而可求雙曲線的離心率．

解答： 解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線方程為y=±

b

a

x，
則與直線x-3y+m=0聯(lián)立，
可得A（

ma

3b-a

，

mb

3b-a

），B（-

ma

3b+a

，

mb

3b+a

），
∴AB中點M坐標為（

ma2

9b2-a2

，

3mb2

9b2-a2

），
∵點P（m，0）滿足|PA|=|PB|，
則PM⊥AB，
∴

3mb2 9b2-a2 -0

ma2 9b2-a2 -m

=-3，
∴a=2b，
∴c=

a2+b2

=

5

b，
∴e=

c

a

=

5

2

．
故答案為：

5

2

．

點評：本題考查雙曲線的離心率，考查直線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．