Question

19．在等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₄=8
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若a₃，a₅分別為等差數(shù)列{b_n}的第6項(xiàng)和第8項(xiàng)，求|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q．由a₁=1，a₄=8，求出q=2，問(wèn)題得以解決；
（II）先等差數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=b₁+（n-1）d=-26+6（n-1）=6n-32，可得當(dāng)n≤5時(shí)b_n≤0且當(dāng)n≥6時(shí)b_n≥0．因此分兩種情況討論，并利用等差數(shù)列的求和公式加以計(jì)算，可得|b₁|+|b₂|+…+|b_n|的表達(dá)式．

解答 解：（I）設(shè)等比數(shù)列的公比為q．
由a₁=1，a₄=8
所以a₄=a₁q³=8
所以q=2
所以等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2^n-1，n∈N^*．
（II） 因?yàn)閍₃，a₅分別為等差數(shù)列{b_n}的第6項(xiàng)和第8項(xiàng)，
所以b₆=a₃=4，b₈=a₅=16，
設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d
$\left\{\begin{array}{l}{_{1}+7d=16}\\{_{1}+5d=4}\end{array}\right.$解得，b₁=-26，d=6，
所以等差數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=b₁+（n-1）d=-26+6（n-1）=6n-32
因?yàn)楫?dāng)6n-32≤0時(shí)，n≤5．
（1）當(dāng)n≤5時(shí)，可得|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=-（b₁+b₂+…+b_n）=-3n²+29，
（2）當(dāng)n≥6時(shí)，|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=-（b₁+b₂+…+b₅）+b₆+b₇+…+b_n=70+（3n²-29n+70）=3n²-29n+140；
綜上所述：|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=$\left\{\begin{array}{l}{-3{n}^{2}+29n，n≤5，n∈N*}\\{3{n}^{2}-29n+140，n≥6，n∈N*}\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算能力，屬于中檔題．