19．已知函數(shù)f（x）為定義在R上的增函數(shù)，若對于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0），并證明f（x）為R上的奇函數(shù)；
（2）若f（1）=2，解關(guān)于x的不等式f（x）-f（3-x）＜4．

分析 （1）令x=y=0計算f（0）=0，再令y=-x即可得出f（x）+f（-x）=0，得出結(jié)論；
（2）計算f（2）=4，將不等式移項得出f（x）＜f（2）+f（3-x）=f（5-x），利用函數(shù)的單調(diào)性得出不等式解出x．

解答 解：（1）令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0，
令y=-x，f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為R上奇函數(shù)．
（2）f（2）=f（1）+f（1）=4，
∵f（x）-f（3-x）＜4，
∴f（x）＜f（2）+f（3-x）=f（5-x），
∴x＜5-x，解得x$＜\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的應用，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

9．橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率$\frac{1}{2}$，過F1的直線交橢圓于A，B兩點，且△ABF2的周長為8，橢圓E的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

10．若1＜α＜3，-4＜β＜2，則α-|β|的取值范圍是（　�。�
A．（-3，0）B．（-3，3）C．（0，3）D．（-3，5）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

7．已知函數(shù)f（x）=ax2（a∈R），g（x）=2lnx．
（1）討論函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)性；
（2）若方程f（x）=g（x）在區(qū)間[${\sqrt{2}$，e]上有兩個不等實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．
（可能用到的參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7，$\frac{1}{e^2}$≈0.135）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

14．在極坐標系中，已知點（4，$\frac{π}{4}$），直線為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=1．
（1）求點（4，$\frac{π}{4}$）的直角坐標系下的坐標與直線的普通方程；
（2）求點（4，$\frac{π}{4}$）到直線ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=1的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

4．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項a1＜0，a203+a204＞0，a203a204＜0，則使前n項和Sn＜0的最大自然數(shù)n是（　�。�
A．405B．404C．407D．406

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

11．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA=$\frac{2}{3}$，a=$\sqrt{5}$，c=2，則b=3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

5．已知$\overline{a}$=（-1，2），$\overrightarrow$=（m2-2，2m），若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線且方向相反，則m的值為（　　）
A．1 或-2B．2C．-2D．-1或2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

6．設(shè)p：實數(shù)a滿足不等式3a≤9，q：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x3+$\frac{{3（{3-a}）}}{2}$x2+9x無極值點．
（1）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）已知“p∧q”為真命題，并記為r，且t：a2-（2m+$\frac{1}{2}}$）a+m（m+$\frac{1}{2}}$）＞0，若r是￢t的必要不充分條件，求正整數(shù)m的值．

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