Question

6．設(shè)p：實數(shù)a滿足不等式3^a≤9，q：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{{3（{3-a}）}}{2}$x²+9x無極值點．
（1）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）已知“p∧q”為真命題，并記為r，且t：a²-（2m+$\frac{1}{2}}$）a+m（m+$\frac{1}{2}}$）＞0，若r是￢t的必要不充分條件，求正整數(shù)m的值．

Answer 1

分析 分別求出命題p，q為真時，實數(shù)a的取值范圍；
（1）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，則p與q只有一個命題是真命題，進而得到答案；
（2）求出“p∧q”為真命題，實數(shù)a的取值范圍，結(jié)合r是￢t的必要不充分條件，可得滿足條件的正整數(shù)m的值．

解答 解：由3^a≤9，得a≤2，即p：a≤2．…（1分）
∵函數(shù)f（x）無極值點，∴f'（x）≥0恒成立，得△=9（3-a）²-4×9≤0，解得1≤a≤5，
即q：1≤a≤5．…（3分）
（1）∵“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，∴p與q只有一個命題是真命題．
若p為真命題，q為假命題，則$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\ a＜1或a＞5\end{array}\right.⇒a＜1$．…（5分）
若q為真命題，p為假命題，則$\left\{\begin{array}{l}a＞2\\ 1≤a≤5\end{array}\right.⇒2＜a≤5$．…（6分）
于是，實數(shù)a的取值范圍為{a|a＜1或2＜a≤5}．…（7分）
（2）∵“p∧q”為真命題，∴$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\ 1≤a≤5\end{array}\right.⇒1≤a≤2$．…（8分）
又${a^2}-（{2m+\frac{1}{2}}）a+m（{m+\frac{1}{2}}）＞0$，
∴$（{a-m}）[{a-（{m+\frac{1}{2}}）}]＞0$，
∴a＜m或$a＞m+\frac{1}{2}$，…（10分）
即t：a＜m或$a＞m+\frac{1}{2}$，從而?t：$m≤a≤m+\frac{1}{2}$．
∵r是?t的必要不充分條件，即?t是r的充分不必要條件，
∴$\left\{\begin{array}{l}m≥1\\ m+\frac{1}{2}≤2\end{array}\right.$，解得$1≤m≤\frac{3}{2}$，∵m∈N^*，∴m=1…（12分）

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了充要條件，函數(shù)的極值，指數(shù)不等式的解法，二次不等式的解法，復(fù)合命題，難度中檔．