Question

15．過(guò)點(diǎn)A（-4，0）向橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）引兩條切線，切點(diǎn)分別為B、C，若△ABC為正三角形，則當(dāng)ab最大時(shí)橢圓的方程為（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{3{y}^{2}}{8}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{3{y}^{2}}{16}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{4{y}^{2}}{9}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{8{y}^{2}}{9}$=1

Answer 1

分析 由題意設(shè)出切線方程，代入橢圓方程，△=0，a²+3b²=16，根據(jù)基本不等式的關(guān)系，a²+3b²≥2$\sqrt{3{a}^{2}^{2}}$，可知a=2$\sqrt{2}$，b=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$時(shí)，ab有最大值，代入即可求得橢圓方程．

解答 解：由△ABC為正三角形，根據(jù)三角形的性質(zhì)k_AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
設(shè)切線方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+4），
代入橢圓方程整理得：3b²x²+a²（x+4）²=3a²b²，
即（3b²+a²）x²+8a²x+16a²-3a²b²=0，
∵△=（8a²）²-4（3b²+a²）（16a²-3a²b²）=0，
∴a²+3b²=16，
a²+3b²≥2$\sqrt{3{a}^{2}^{2}}$，
（當(dāng)且僅當(dāng)a²=3b²，即a=2$\sqrt{2}$，b=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$時(shí)，等號(hào)成立），
∴a=2$\sqrt{2}$，b=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$時(shí)，ab有最大值，
故此時(shí)橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{3{y}^{2}}{8}=1$，
故答案為：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用及基本不等式在求最值時(shí)的應(yīng)用．同時(shí)考查了學(xué)生化簡(jiǎn)運(yùn)算的能力，屬于中檔題．