Question

【題目】已知橢圓C：的左右頂點為A、B，右焦點為F，一條準(zhǔn)線方程是，短軸一端點與兩焦點構(gòu)成等邊三角形，點P、Q為橢圓C上異于A、B的兩點，點R為PQ的中點

求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

直線PB交直線于點M，記直線PA的斜率為，直線FM的斜率為，求證：為定值；

若，求直線AR的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】

（1）由準(zhǔn)線方程得，由等邊三角形得，聯(lián)立解得，結(jié)合求得，得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線PB方程為，與橢圓方程聯(lián)立可解得交點P的坐標(biāo)，同時求得點M，F(xiàn)的坐標(biāo)，計算即得；

（3）由，可得，即，設(shè)AP的方程為，代入橢圓方程求得P點坐標(biāo)，把換成，可得Q點坐標(biāo)，計算直線斜率表示為的函數(shù)，

可結(jié)合換元法和基本不等式求得此函數(shù)的函數(shù)值的范圍．

橢圓的一條準(zhǔn)線方程是，可得，

短軸一端點與兩焦點構(gòu)成等邊三角形，可得，

解得，，，

即有橢圓方程為；

證明：由，，

設(shè)直線PB的方程為，

聯(lián)立橢圓方程，

可得，

解得或，

即有，

，，

則，

即為定值；

由，可得，即，

設(shè)AP的方程為，代入橢圓方程，

可得，

解得或，

即有，

將t換為可得，

則R的坐標(biāo)為，

即有直線AR的斜率

，

可令，則，

則，

當(dāng)時，，

當(dāng)且僅當(dāng)時上式取得等號，

同樣當(dāng)時，，

時，，，

則AR的斜率范圍為