Question

7．某市在“國際禁毒日”期間，連續(xù)若干天發(fā)布了“珍愛生命，遠(yuǎn)離毒品”的電視公益廣告，期望讓更多的市民知道毒品的危害性．禁毒志愿者為了了解這則廣告的宣傳效果，隨機(jī)抽取了100名年齡階段在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民進(jìn)行問卷調(diào)查，由此得到樣本頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）求隨機(jī)抽取的市民中年齡在[30，40）的人數(shù)；
（Ⅱ）試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)市民的平均年齡；
（Ⅲ）從不小于40歲的人中按年齡段分層抽樣的方法隨機(jī)  抽取5人，再從得到的5人中抽到2人作為本次活動(dòng)的獲獎(jiǎng)?wù)�，記X為年齡在[50，60）年齡段的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出隨機(jī)抽取的市民中年齡段在[30，40）的頻率，由此能求出隨機(jī)抽取的市民中年齡段在[30，40）的人數(shù)．
（Ⅱ）年齡段在[40，50），[50，60）的人數(shù)分別為15人，10人，從而不小于40歲的人的頻數(shù)是25人，由此能示出在[50，60）年齡段抽取的人數(shù)．
（Ⅲ）由已知X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）由圖知，隨機(jī)抽取的市民中年齡段在[30，40）的頻率為：
1-10（0.020+0.025+0.015+0.010）=0.3，
∴隨機(jī)抽取的市民中年齡段在[30，40）的人數(shù)為100×0.3=30人．
（Ⅱ）由（1）知：年齡段在[40，50），[50，60）的人數(shù)分別為100×0.15=15人，100×0.1=10人，
即不小于40歲的人的頻數(shù)是25人，
所以在[50，60）年齡段抽取的人數(shù)為10×$\frac{5}{25}$=2人．
（Ⅲ）由已知X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
所以X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

∴EX=0×$\frac{3}{10}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{10}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查分層抽樣的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．