Question

已知不等式|t+3|-|t-2|≤6m-m²對(duì)任意t∈R恒成立．
（Ⅰ）求m的取值范圍；
（Ⅱ）記m最大值為λ，且3x+4y+5z=λ，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意可得|t+3|-|t-2|的最大值小于或等于6m-m²．利用絕對(duì)值的意義可得|t+3|-|t-2|的最大值為5，可得5≤6m-m²，由此求得m的范圍．
（Ⅱ）由題意可得

3

5

x+

4

5

y+z=1，再根據(jù)x²+y²+z²=

1

2

（x²+y²+z²）（

9

25

+

16

25

+1），利用柯西不等式，求得x²+y²+z²的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由不等式|t+3|-|t-2|≤6m-m²對(duì)任意t∈R恒成立，可得|t+3|-|t-2|的最大值小于或等于6m-m²．
而|t+3|-|t-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，它的最大值為5，
∴5≤6m-m²，求得1≤m≤5，故m的范圍是[1，5]．
（Ⅱ）記m最大值為λ，則λ=5，由3x+4y+5x=λ=5，可得

3

5

x+

4

5

y+z=1，
∴x²+y²+z²=

1

2

（x²+y²+z²）（

9

25

+

16

25

+1）≥(

3

5

x+

4

5

y+z)2=1，
∴x²+y²+z²的最小值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．