Question

已知f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a（a∈R，a為常數(shù)）．
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）的最大值為4，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，化簡函數(shù)解析式，得到f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，然后，根據(jù)周期公式求解其周期即可；
（2）根據(jù)x∈[0，

π

2

]，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得到2sin（2x+

π

6

）+a+1∈[a，3+a]，然后根據(jù)函數(shù)的最值，確定待求的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a
=1+cos2x+

3

sin2x+a
=2sin（2x+

π

6

）+a+1，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，
∴T=

2π

2

=π，
∴f（x）的最小正周期π；
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x∈[0，π]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴2sin（2x+

π

6

）∈[-1，2]，
∴2sin（2x+

π

6

）+a+1∈[a，3+a]，
∴3+a=4，
∴a=1．
即a的值1．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換公式等知識(shí)，屬于中檔題．