Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a{e}^{x}+blnx}{x}$（a，b∈R且a≠0）．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸垂直，且f（x）有極大值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若a=b=1，試判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．（提示：e${\;}^{\frac{3}{4}}$＞$\frac{16}{9}$，e${\;}^{\frac{2}{3}}$＜$\frac{9}{4}$）

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出b的值，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出x=1時函數(shù)取極大值，求出a的范圍即可；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出m的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{（{ae}^{x}+\frac{x}）x-（{ae}^{x}+blnx）}{{x}^{2}}$，∴f′（1）=b=0，
∴f′（x）=$\frac{{ae}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
a＞0時，由f′（x）＞0，解得：x＞1，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）只有極小值，不合題意；
a＜0時，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，由f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在x=1處取得極大值，
故a的范圍是（-∞，0）；
（2）a=b=1時，f（x）=$\frac{{e}^{x}+lnx}{x}$，f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）+1-lnx}{{x}^{2}}$，
設(shè)g（x）=e^x（x-1）+1-lnx，則g′（x）=x（e^x-$\frac{1}{{x}^{2}}$），
設(shè)g′（m）=0，∵e${\;}^{\frac{3}{4}}$＞$\frac{16}{9}$，e${\;}^{\frac{2}{3}}$＜$\frac{9}{4}$，
且y=e^x-$\frac{1}{{x}^{2}}$在x∈（0，+∞）遞增，
∴$\frac{2}{3}$＜m＜$\frac{3}{4}$，
不難得到g（x）≥g（m），
∵e^m=$\frac{1}{{m}^{2}}$，∴m=-2lnm，
∴g（m）=$\frac{{m}^{3}+{2m}^{2}+2m-2}{{2m}^{2}}$，
∵（m³+2m²+2m-2）′=3m²+4m+2＞0恒成立，
∴φ（m）=m³+2m²+2m-2遞增，
∴φ（m）＞φ（$\frac{2}{3}$）=$\frac{14}{27}$＞0，∴g（m）＞0，g（x）＞0，
故f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．