Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x-a|-|x-3|．
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥2；
（2）若存在實(shí)數(shù)x，使得$f（x）≤-\frac{a}{2}$成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=-1，則f（x）=|x+1|-|x-3|，運(yùn)用函數(shù)的零點(diǎn)分區(qū)間，討論當(dāng)x≥3時(shí)，當(dāng)-1≤x＜3時(shí)，當(dāng)x＜-1時(shí)，化簡(jiǎn)不等式求解，最后求并集即可；
（2）由題意知這是一個(gè)存在性的問(wèn)題，須求出不等式左邊的最大值，可運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得最大值，再令其大于等于$\frac{a}{2}$，即可解出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）若a=-1，則f（x）=|x+1|-|x-3|，
若x≥3，由f（x）≥2，
得（x+1）-（x-3）≥2不等式顯然成立，
若-1≤x＜3，由f（x）≥2，
得（x+1）+（x-3）≥2，解得x≥2．
又-1≤x＜3，∴2≤x＜3．
若x＜-1，由f（x）≥2，
得-（x+1）+（x-3）≥2不等式不成立．
∴不等式f（x）≥2的解集為{x|x≥2}．
綜上所述，不等式f（x）≥2的解集為{x|x≥2}；
（2）不等式$f（x）≤-\frac{a}{2}$即|x-a|-|x-3|$≤-\frac{a}{2}$．
|x-a|-|x-3|≥-|（x-a）-（x-3）|=-|a-3|，
若a＞3，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x≥3，
若a=3，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x∈R，
若a＜3，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x≤3．
∴-|a-3|$≤-\frac{a}{2}$，即|a-3|$≥\frac{a}{2}$，
若a≥3，則（a-3）$≥\frac{a}{2}$，解得a≥6．
若a＜3，則-（a-3）$≥\frac{a}{2}$，解得a≤2．
∴a的取值范圍是（-∞，2]∪[6，+∞）．
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，2]∪[6，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式，求解本題的關(guān)鍵是正確理解題意，區(qū)分存在問(wèn)題與恒成立問(wèn)題的區(qū)別，本題是一個(gè)存在問(wèn)題，解決的是有的問(wèn)題，故取|a-3|≥$\frac{a}{2}$，即小于等于左邊的最大值即滿足題意，本題是一個(gè)易錯(cuò)題，主要錯(cuò)誤就是出在把存在問(wèn)題當(dāng)成恒成立問(wèn)題求解，因思維錯(cuò)誤導(dǎo)致錯(cuò)誤，是有一定難度的題目．