分析 (1)根據(jù)數(shù)列遞推公式即可證明,
(2)先求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,再分類求出{an}的通項(xiàng)公式,
(3)令S=1•21+2•22+…+n•2n根據(jù)錯(cuò)位相減法求出Sn,分離參數(shù),根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特征即可求出λ的取值范圍.
解答 解:(1)${b_{n+1}}={a_{2n+2}}-1=2{a_{2n+1}}-3(-1{)^{2n+1}}-1=2{a_{2n+1}}+2$=$4{a_{2n}}-6(-1{)^{2n}}+2=4{a_{2n}}-4=4{b_n}$…(3分)
(2)a2=2a1-3(-1)=5,b1=a2-1=4,因?yàn)閎n+1=4bn
所以$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=4$,所以{bn}是等比數(shù)列,所以bn=4n=a2n-1,${a_{2n}}={4^n}+1={2^{2n}}+1$,${a_{2n}}=2{a_{2n-1}}+3={2^{2n}}+1$,${a_{2n-1}}={2^{2n-1}}-1$
所以${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{2^n}-1,n為奇數(shù)\\{2^n}+1,n為偶數(shù)\end{array}\right.$,即${a_n}={2^n}+(-1{)^n}$…(8分)
(3)由(2)$n{a_n}=n•{2^n}+(-1{)^n}•n$,
$\begin{array}{l}{S_n}={a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+n{a_n}=(1•{2^1}-1)+(2•{2^n}+2)+…+(n•{2^n}+{(-1)^n}•n)\\=(1•{2^1}+2•{2^n}+…+n•{2^n})+(-1+2-3+…+{(-1)^n}•n)\end{array}$
令S=1•21+2•22+…+n•2n
則2S=1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1$-S={2^1}+{2^2}+…+{2^n}-n•{2^{n+1}}=\frac{{2-{2^{n+1}}}}{1-2}-n•{2^{n+1}}$,
S=(n-1)•2n+1+2…(9分)
n為奇數(shù)時(shí),$T=-1+2-3+…+{(-1)^n}•n=-\frac{n+1}{2}$,
n為偶數(shù)時(shí),$T=-1+2-3+…+{(-1)^n}•n=\frac{n}{2}$…(11分)
所以n為奇數(shù)時(shí)${S_n}=S+T=(n-1)•{2^{n+1}}+2-\frac{n+1}{2}>λ{(lán)2^n}$,
即$λ<2(n-1)+\frac{3-n}{{2•{2^n}}}$恒成立,
易證$2(n-1)+\frac{3-n}{{2•{2^n}}}$遞增,n=1時(shí)$2(n-1)+\frac{3-n}{{2•{2^n}}}$取最小值$\frac{1}{2}$,
所以$λ<\frac{1}{2}$n為偶數(shù)時(shí),
${S_n}=S+T=(n-1)•{2^{n+1}}+2+\frac{n}{2}>λ{(lán)2^n}$,
即$λ<2(n-1)+\frac{4+n}{{2•{2^n}}}$,
易證$2(n-1)+\frac{4+n}{{2•{2^n}}}$遞增,n=2時(shí)$2(n-1)+\frac{4+n}{{2•{2^n}}}$取最小值$\frac{11}{4}$,
所以$λ<\frac{11}{4}$…(15分)
綜上可得 $λ<\frac{1}{2}$.(16分)
點(diǎn)評(píng) 本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng),結(jié)合含兩個(gè)變量的不等式的處理問題,對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高,要注意錯(cuò)位相減求和法和轉(zhuǎn)化與化歸思想的合理運(yùn)用,本題有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,易出錯(cuò).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
不常喝 | 常喝 | 合計(jì) | |
肥胖 | x | y | 50 |
不肥胖 | 40 | 10 | 50 |
合計(jì) | A | B | 100 |
P(K2≥k) | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | A${\;}_{5}^{2}$×A${\;}_{4}^{3}$種 | B. | A${\;}_{5}^{2}$×43種 | C. | C${\;}_{5}^{2}$×A${\;}_{4}^{3}$種 | D. | C${\;}_{5}^{2}$×43種 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | B. | $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D. | $\frac{1}{2}$ |
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