Question

已知函數(shù)f(x)＝|ax－2|＋bln x(x>0，實(shí)數(shù)a，b為常數(shù))．

(1)若a＝1，f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，求b的取值范圍；

(2)若a≥2，b＝1，求方程f(x)＝在(0,1]上解的個數(shù)．

 

Answer 1

（1）[2，＋∞)．

（2）0

【解析】【解析】
(1)當(dāng)a＝1時，

f(x)＝|x－2|＋bln x

①當(dāng)0<x<2時，f(x)＝－x＋2＋bln x，

f′(x)＝－1＋.

由條件得－1＋≥0恒成立，即b≥x恒成立．

所以b≥2；

②當(dāng)x≥2時，f(x)＝x－2＋bln x，

f′(x)＝1＋.

由條件得1＋≥0恒成立，即b≥－x恒成立．

所以b≥－2.

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像在(0，＋∞)上不間斷，綜合①②得b的取值范圍是[2，＋∞)．

(2)令g(x)＝|ax－2|＋ln x－，即

當(dāng)0<x<時，

g(x)＝－ax＋2＋ln x－，

g′(x)＝－a＋＋.

因?yàn)?<x<，所以>，

則g′(x)>－a＋＋＝≥0，

即g′(x)>0，所以g(x)在上是單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)x>時，g(x)＝ax－2＋ln x－，

g′(x)＝a＋＋>0，

所以g(x)在上是單調(diào)增函數(shù)．

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖像在(0，＋∞)上不間斷，所以g(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．

因?yàn)間＝ln－，

而a≥2，所以ln≤0，則g<0，

g(1)＝|a－2|－1＝a－3.

①當(dāng)a≥3時，因?yàn)間(1)≥0，所以g(x)＝0在(0,1]上有唯一解，即方程f(x)＝解的個數(shù)為1；

②當(dāng)2≤a<3時，因?yàn)間(1)<0，所以g(x)＝0在(0,1]上無解，即方程f(x)＝解的個數(shù)為0.