【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切．

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；

（2）直線過(guò)點(diǎn)且與動(dòng)圓圓心的軌跡交于、兩點(diǎn)．是否存在面積的最大值，若存在，求出的面積；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1）；（2）存在，面積的最大值為，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，利用幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化兩圓內(nèi)切和外切的問(wèn)題，可得出，可得知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓，并設(shè)該橢圓的方程為，利用橢圓的定義求出的值，可求出的值，由此可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，并計(jì)算出的面積關(guān)于的表達(dá)式，換元，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可得出面積的最大值.

（1）設(shè)點(diǎn)，動(dòng)圓的半徑為，

由題意知，，，

由橢圓定義可知，動(dòng)圓圓心在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，

設(shè)該橢圓的方程為，且，，.

由于圓內(nèi)切于圓于點(diǎn)，則.

因此，動(dòng)圓圓心的軌跡方程為；

（2）存在面積的最大值.

因?yàn)橹本�過(guò)點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為或（舍）．

則，整理得 ．

由．

設(shè)點(diǎn)、，則，.

則，

因?yàn)?/span>．

設(shè)，則，則.

設(shè)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以．

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即．

因此，面積的最大值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】近年來(lái)，隨著我國(guó)汽車消費(fèi)水平的提高，二手車流通行業(yè)得到迅猛發(fā)展．某汽車交易市場(chǎng)對(duì)2017年成交的二手車交易前的使用時(shí)間（以下簡(jiǎn)稱“使用時(shí)間”）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到頻率分布直方圖如圖1．

圖1 圖2

（1）記“在年成交的二手車中隨機(jī)選取一輛，該車的使用年限在”為事件，試估計(jì)的概率；

（2）根據(jù)該汽車交易市場(chǎng)的歷史資料，得到散點(diǎn)圖如圖2，其中(單位：年)表示二手車的使用時(shí)間，(單位：萬(wàn)元)表示相應(yīng)的二手車的平均交易價(jià)格．由散點(diǎn)圖看出，可采用作為二手車平均交易價(jià)格關(guān)于其使用年限的回歸方程，相關(guān)數(shù)據(jù)如下表（表中，）：

5.5

8.7

1.9

301.4

79.75

385

①根據(jù)回歸方程類型及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；

②該汽車交易市場(chǎng)對(duì)使用8年以內(nèi)(含8年)的二手車收取成交價(jià)格的傭金，對(duì)使用時(shí)間8年以上(不含8年)的二手車收取成交價(jià)格的傭金．在圖1對(duì)使用時(shí)間的分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值．若以2017年的數(shù)據(jù)作為決策依據(jù)，計(jì)算該汽車交易市場(chǎng)對(duì)成交的每輛車收取的平均傭金．

附注：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為；

②參考數(shù)據(jù)：．

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【題目】某水果種植基地引進(jìn)一種新水果品種，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)該水果每株的產(chǎn)量（單位：）和與它“相近”的株數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系（兩株作物“相近”是指它們的直線距離不超過(guò)），并分別記錄了相近株數(shù)為0，1，2，3，4時(shí)每株產(chǎn)量的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

0

1

2

3

4

15

12

11

9

8

（1）求出該種水果每株的產(chǎn)量關(guān)于它“相近”株數(shù)的回歸方程；

（2）有一種植戶準(zhǔn)備種植該種水果500株，且每株與它“相近”的株數(shù)都為，計(jì)劃收獲后能全部售出，價(jià)格為10元，如果收入（收入=產(chǎn)量×價(jià)格）不低于25000元，則的最大值是多少？

（3）該種植基地在如圖所示的直角梯形地塊的每個(gè)交叉點(diǎn)（直線的交點(diǎn)）處都種了一株該種水果，其中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)和直角三角形的直角邊長(zhǎng)都為，已知該梯形地塊周邊無(wú)其他樹(shù)木影響，若從所種的該水果中隨機(jī)選取一株，試根據(jù)（1）中的回歸方程，預(yù)測(cè)它的產(chǎn)量的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，.

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（1）求曲線的方程；

（2）若點(diǎn)，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)在曲線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說(shuō)明理由.

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A. 有最小值4B. 有最小值

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【題目】市面上有某品牌型和型兩種節(jié)能燈，假定型節(jié)能燈使用壽命都超過(guò)5000小時(shí)，經(jīng)銷商對(duì)型節(jié)能燈使用壽命進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布直方圖：

某商家因原店面需要重新裝修，需租賃一家新店面進(jìn)行周轉(zhuǎn)，合約期一年.新店面需安裝該品牌節(jié)能燈5支（同種型號(hào)）即可正常營(yíng)業(yè).經(jīng)了解，型20瓦和型55瓦的兩種節(jié)能燈照明效果相當(dāng)，都適合安裝.已知型和型節(jié)能燈每支的價(jià)格分別為120元、25元，當(dāng)?shù)厣虡I(yè)電價(jià)為0.75元/千瓦時(shí).假定該店面一年周轉(zhuǎn)期的照明時(shí)間為3600小時(shí)，若正常營(yíng)業(yè)期間燈壞了立即購(gòu)買同型燈管更換.（用頻率估計(jì)概率）

（Ⅰ）根據(jù)頻率直方圖估算型節(jié)能燈的平均使用壽命；

（Ⅱ）根據(jù)統(tǒng)計(jì)知識(shí)知，若一支燈管一年內(nèi)需要更換的概率為，那么支燈管估計(jì)需要更換支.若該商家新店面全部安裝了型節(jié)能燈，試估計(jì)一年內(nèi)需更換的支數(shù)；

（Ⅲ）若只考慮燈的成本和消耗電費(fèi)，你認(rèn)為該商家應(yīng)選擇哪種型號(hào)的節(jié)能燈，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】設(shè)三位數(shù)，若以為三條邊的長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)等腰（含等邊）三角形，則這樣的三位數(shù)有(　　)

A．45個(gè) B．81個(gè) C．165個(gè) D．216個(gè)

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