Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-2-x

2x+2-x

，
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）在函數(shù)f（x）上是否存在兩個不同的點A、B，使直線AB恰好與y軸垂直，若存在，求出直線AB的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法,直線的一般式方程

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由原函數(shù)的解析式看出定義域為R，求值域時，先將原函數(shù)變成：f（x）=1-

2

22x+1

，根據(jù)2^2x的取值即可求f（x）的值域；
（2）求f′（x），根據(jù)f′（x）的符號判斷出f（x）單調(diào)遞增，所以不存在點A，B，使直線AB與y軸垂直．

解答： 解：（1）由f（x）解析式知該函數(shù)的定義域為R；
f（x）=

22x-1

22x+1

=1-

2

22x+1

；
∵2^2x+1＞1，∴0＜

2

22x+1

＜2，∴-1＜1-

2

22x+1

＜1；
∴函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）；
（2）f′（x）=

4•22xln2

(22x+1)2

＞0；
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，所以x₁≠x₂時，f（x₁）≠f（x₂）；
∵若存在兩個不同的點A、B，使直線AB恰好與y軸垂直，則A，B兩點的橫坐標不同，而縱坐標相等；
∴這樣的點A，B不存在．

點評：考查函數(shù)的定義域，值域，以及本題通過改變函數(shù)解析式的形式求值域的方法，根據(jù)函數(shù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及單調(diào)函數(shù)不存在縱坐標相同的點．