Question

已知點(diǎn)P為圓x²+y²=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，0）．
（1）求PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若△PQA為正三角形，求點(diǎn)A的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)PQ中點(diǎn)M（x，y），則P（2x-4，2y），代入圓的方程即得線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．
（2）A與P軌跡形狀是相同的，只是圓心位置不同，如圖，B為圓心．求出B的坐標(biāo)，即可求點(diǎn)A的軌跡方程．

解答： 解：（1）設(shè)PQ中點(diǎn)M（x，y），則P（2x-4，2y），代入圓的方程得（x-2）²+y²=

1

4

．
（2）∵Q為定點(diǎn)，
∴A與P軌跡形狀是相同的，只是圓心位置不同，如圖，B為圓心．
當(dāng)P在（-1，0）時(shí)，可知AP∥BO，
則直線BO：y=

3

x，直線BQ：y=-

3

（x-4），
聯(lián)立方程可得B（2，2

3

），
∴點(diǎn)A的軌跡方程是（x-2）²+（y-2

3

）²=1

點(diǎn)評(píng)：求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)代入法、參數(shù)法，本題主要是利用直接法和相關(guān)點(diǎn)代入法，直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．相關(guān)點(diǎn)代入法  根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．