Question

12．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），垂直于x軸的焦點弦的弦長為$\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$，直線$x-2y+\sqrt{2}=0$與以原點為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切．
（1）求該橢圓C的方程；
（2）過右焦點F的直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為M，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點．記△MFD的面積為S₁，△OED的面積為S₂．求$\frac{{{S_1}{S_2}}}{S_1^2+S_2^2}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$，點到直線的距離公式及離心率公式可知$\frac{丨\sqrt{2}丨}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{c}{a}$，利用橢圓的幾何性質(zhì)即可求得a和b的值；
（2）由（1）可知$F（\sqrt{2}，0）$，直線AB的斜率不存在，則M，F(xiàn)不合題意，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由韋達定理求得M點坐標，根據(jù)直線垂直，k•k_MD=-1，分別求得k和k_MD，根據(jù)三角形相似，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{丨MD{丨}^{2}}{丨DO{丨}^{2}}$=$\frac{{{S_1}{S_2}}}{S_1^2+S_2^2}=\frac{1}{{\frac{S_1}{S_2}+\frac{S_2}{S_1}}}$$∈（0，\frac{36}{97}）$．

解答 解：（1）由題意可知：$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$，
由點到直線的距離公式d=$\frac{丨\sqrt{2}丨}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{c}{a}$，
由橢圓的幾何性質(zhì)，a²=b²+c²，
解得：a³=5，b³=3，
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
（2）由（1）知$F（\sqrt{2}，0）$，若直線AB的斜率不存在，則M，F(xiàn)不合題意，
∴直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為$y=k（x-\sqrt{2}）$，
代入$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1$中，整理得：$（5{k^2}+3）{x^2}-10\sqrt{2}{k^2}x+10{k^2}-15=0$，
由韋達定理可知：${x_1}+{x_2}=\frac{{10\sqrt{2}{k^2}}}{{5{k^2}+3}}$，${y_1}+{y_2}=\frac{{-6\sqrt{2}k}}{{5{k^2}+3}}$…（6分）
∴$M（\frac{{5\sqrt{2}{k^2}}}{{5{k^2}+3}}，\frac{{-3\sqrt{2}k}}{{5{k^2}+3}}）$，
∵AB⊥MD，
∴k•k_MD=-1，
∴$k•\frac{{\frac{{-3\sqrt{2}k}}{{5{k^2}+3}}-0}}{{\frac{{5\sqrt{2}{k^2}}}{{5{k^2}+3}}-{x_D}}}=-1$，
∴${x_D}=\frac{{2\sqrt{2}{k^2}}}{{5{k^2}+3}}$即$D（\frac{{2\sqrt{2}{k^2}}}{{5{k^2}+3}}，0）$，
∵△MFD～△OED，
∴$\frac{S_1}{S_2}=\frac{{|MD{|^2}}}{{|DO{|^2}}}=\frac{{{{（\frac{{5\sqrt{2}{k^2}}}{{5{k^2}+3}}-\frac{{2\sqrt{2}{k^2}}}{{5{k^2}+3}}）}^2}+{{（\frac{{-3\sqrt{2}k}}{{5{k^2}+3}}-0）}^2}}}{{{{（\frac{{2\sqrt{2}{k^2}}}{{5{k^2}+3}}）}^2}}}$，
=$\frac{9}{4}（1+\frac{1}{k^2}）＞\frac{9}{4}$$\frac{{{S_1}{S_2}}}{S_1^2+S_2^2}=\frac{1}{{\frac{S_1}{S_2}+\frac{S_2}{S_1}}}$$∈（0，\frac{36}{97}）$．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線的斜率公式，直線垂直的充要條件，三角形相似問題，考查計算能力，屬于中檔題．