Question

一元二次方程mx²+（2m-3）x+（m-2）=0的兩個實數(shù)根為tanα和tanβ．
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）求tan（α+β）的取值范圍及其最小值．

Answer 1

解：（1）由方程有實根，得，（2分）
所以m的取值范圍為且m≠0；（2分）
（2）由韋達定理，（2分）
代入和角公式，得，（4分）
所以tan（α+β）的取值范圍為，最小值為．（2分）
分析：（1）利用二次方程有兩個不等根，令判別式大于0，二次項系數(shù)非0，解不等式求出m的范圍．
（2）利用韋達定理求出tanα+tanβ，tanαtanβ，利用兩角和的正切公式求出tan（α+β）是關(guān)于m的一次函數(shù)，求出tan（α+β）的取值范圍及其最小值．
點評：判斷一元二次方程的根的個數(shù)的方法是利用判別式的符號；考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即韋達定理．