Question

1．已知x₁、x₂是函數(shù)f（x）=x²+mx+t的兩個零點，其中常數(shù)m、t∈Z，記$\sum_{i=0}^n{x^i}={x^0}+{x^1}+…+{x^n}$，設(shè)${T_n}=\sum_{r=0}^n{x_1^{n-r}x_2^r}$（n∈N^*）．
（1）用m、t表示T₁、T₂；
（2）求證：T₅=-mT₄-tT₃；
（3）求證：對任意的n∈N^*，T_n∈Z．

Answer 1

分析 （1）依題意知x₁+x₂=-m，x₁x₂=t，利用${T_n}=\sum_{r=0}^n{x_1^{n-r}x_2^r}$（n∈N^*），易知T₁=x₁+x₂=-m，T₂=x12+x₁x₂+x22=（x1+x2）2-x₁x₂=m²-t；
（2）由T_k=$\sum_{r=0}^{k}$${{x}_{1}}^{k-r}$${{x}_{2}}^{r}$，可得T₅=x₁T₄+x25=-mT₄-tT₃；
（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）∵x₁、x₂是函數(shù)f（x）=x²+mx+t的兩個零點，
∴x₁+x₂=-m，x₁x₂=t，
∵${T_n}=\sum_{r=0}^n{x_1^{n-r}x_2^r}$，
∴T₁=x₁+x₂=-m，
T₂=x₁²+x₁x₂+x₂²=（x₁+x₂）²-x₁x₂=m²-t；
（2）證明：T₅=x₁$\sum_{r=0}^{4}$${{x}_{1}}^{4-r}$${{x}_{2}}^{r}$+${{x}_{2}}^{5}$=x₁T₄+${{x}_{2}}^{5}$，
∴T₅=x₁T₄+${{x}_{2}}^{5}$，
x₂T₄=x₁x₂T₃+${{x}_{2}}^{5}$，
故T₅=x₁T₄+（x₂T₄-x₁x₂T₃）=-mT₄-tT₃；
（3）證明：①當(dāng)n=1，2時，由（1）知，T_k是整數(shù)，結(jié)論成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k-1，n=k（k≥2）時，結(jié)論成立，即T_k-1，T_k都是整數(shù)，
∵T_k=$\sum_{r=0}^{k}$${{x}_{1}}^{k-r}$${{x}_{2}}^{r}$，T_k+1=$\sum_{r=0}^{k+1}$${{x}_{1}}^{k+1-r}$${{x}_{2}}^{r}$，
∴同理可得，T_k+1=-mT_k-tT_k-1，
∵T_k-1，T_k都是整數(shù)，且m、t∈Z，
∴T_k+1也是整數(shù)；
綜上所述，對任意的n∈N^*，T_n∈Z．

點評 本題考查綜合法證明不等式，突出考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查抽象思維、邏輯思維的綜合應(yīng)用，考查推理證明的能力，屬于難題．