Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）若y=f（x）在（0，+∞）恒單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2（x1＜x2），求a的取值范圍并證明x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閒'（x）=lnx﹣ax+1（x＞0），

所以由f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立得 ，

令 ，易知g（x）在（0，1）單調(diào)遞增（1，+∞）單調(diào)遞減，

所以a≥g（1）=1，

即得：a≥1

（2）解：函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），

即y=f'（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且均為正，f'（x）=lnx﹣ax+1（x＞0），

令F（x）=f'（x）=lnx﹣ax+1，由 可知

1）a≤0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)．

2）a＞0時(shí)，y=F（x）在 是增函數(shù)在 是減函數(shù)，

此時(shí) 為函數(shù)的極大值，也是最大值．

當(dāng) 時(shí)，最多有一個(gè)零點(diǎn)，所以 才可能有兩個(gè)零點(diǎn)，

得：0＜a＜1

此時(shí)又因?yàn)? ， ， ，

令 ，φ（a）在（0，1）上單調(diào)遞增，

所以φ（a）＜φ（1）=3﹣e2，即

綜上，所以a的取值范圍是（0，1）

下面證明x1+x2＞2

由于y=F（x）在 是增函數(shù)在 是減函數(shù)， ，可構(gòu)造出

構(gòu)造函數(shù)

則 ，故m（x）在區(qū)間 上單調(diào)減．又由于 ，

則 ，即有m（x1）＞0在 上恒成立，即有 成立．

由于 ， ，y=F（x）在 是減函數(shù)，所以

所以 成立

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為 ，令 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，從而求出a的范圍即可；（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，令F（x）=f'（x）=lnx﹣ax+1，求出函數(shù)F（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出a的范圍，證明即可．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題．