Question

16．如圖所示，為了測量A、B處島嶼的距離，小明在D處觀測，A、B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A、B兩處島嶼的距離為20$\sqrt{6}$海里．

Answer 1

分析 分別在△ACD和△BCD中利用正弦定理計算AD，BD，再在△ABD中利用余弦定理計算AB．

解答 解：連接AB，
由題意可知CD=40，∠ADC=105°，∠BDC=45°，∠BCD=90°，∠ACD=30°，
∴∠CAD=45°，∠ADB=60°，
在△ACD中，由正弦定理得$\frac{AD}{sin30°}=\frac{40}{sin45°}$，∴AD=20$\sqrt{2}$，
在Rt△BCD中，
∵∠BDC=45°，∠BCD=90°，
∴BD=$\sqrt{2}$CD=40$\sqrt{2}$．
在△ABD中，由余弦定理得AB=$\sqrt{800+3200-2×20\sqrt{2}×40\sqrt{2}×cos60°}$=20$\sqrt{6}$．
故答案為：$20\sqrt{6}$．

點評 本題考查了解三角形的應用，合理選擇三角形，利用正余弦定理計算是關鍵，屬于中檔題．