Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=-1nx，g'（x）為g（x）的導(dǎo)函數(shù)．若存在直線l同為函數(shù)f（x）與g'（x）的切線，則直線l的斜率為（　�。�

• A． $2\sqrt{5}-4$
• B． 2
• C． 4
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 分別設(shè)出直線l與兩個函數(shù)所對應(yīng)曲線的切點，求出切線方程，由兩切線系數(shù)相等列式求出切點橫坐標，則答案可求．

解答 解：由g（x）=-1nx，得g'（x）=-$\frac{1}{x}$，
設(shè)直線l與f（x）的切點為（${x}_{1}，{{x}_{1}}^{2}$），則f′（x₁）=2x₁，
∴直線l的方程為y-${{x}_{1}}^{2}=2{x}_{1}（x-{x}_{1}）$，即$y=2{x}_{1}x-{{x}_{1}}^{2}$；
再設(shè)l與g'（x）的切點為（${x}_{2}，-\frac{1}{{x}_{2}}$），則$g″（{x}_{2}）=\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$，
∴直線l的方程為$y+\frac{1}{{x}_{2}}=\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}（x-{x}_{2}）$，即$y=\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}x-\frac{2}{{x}_{2}}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}=\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}}\\{{{x}_{1}}^{2}=\frac{2}{{x}_{2}}}\end{array}\right.$，解得x₁=2．
∴直線l的斜率為2x₁=4．
故選：C．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過去線上某點處的切線方程，函數(shù)在曲線上某點處的導(dǎo)數(shù)，就是函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．