Question

（2009•黃浦區(qū)二模）已知x∈R，ω＞0，

u

=(sinωx，sin(ωx-

π

2

))，

v

=(1，

3

)，函數(shù)f(x)=1+

u

•

v

•sinωx的最小正周期為

π

2

．
（1）求ω的值．
（2）求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-

π

8

，

π

8

]上的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡函數(shù)解析式后，再根據(jù)二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)周期公式及已知的周期即可求出ω的值；
（2）把（1）求出的ω的值代入確定出函數(shù)解析式，由x的范圍，求出化簡后解析式中角度的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得出正弦函數(shù)的值域，進而得到函數(shù)的值域．

解答：解：（1）依據(jù)題意，有f(x)=1+

u

•

v

•sinωx
=1+(sinωx，sin(ωx-

π

2

))•(1，

3

)•sinωx
=1+sin2ωx-

3

cosωx•sinωx（2分）
=1+

1-cos2ωx

2

-

3

2

sin2ωx（3分）
=

3

2

-sin(2ωx+

π

6

)，（4分）
又ω＞0，函數(shù)的最小正周期T=

π

2

，
∴2ω=

2π

T

，ω=2；（6分）
（2）由（1）可知，f(x)=

3

2

-sin(4x+

π

6

)，
當-

π

8

≤x≤

π

8

時，可得-

π

2

≤4x≤

π

2

，-

π

3

≤4x+

π

6

≤

2π

3

，（8分）
考察正弦函數(shù)的圖象，
進一步有：-

3

2

≤sin(4x+

π

6

)≤1，
所以

1

2

≤

3

2

-sin(4x+

π

6

)≤

3+ 3

2

，（13分）
所以函數(shù)y=f(x)在[-

π

8

，

π

8

]上的取值范圍是[

1

2

，

3+ 3

2

]．（14分）

點評：此題考查了平面向量的數(shù)量積運算法則，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差額正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個角的三角函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．