Question

已知A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，向量

a

=(

65

5

sin

A+B

2

，cos

A-B

2

)，且|

a

|=

3

5

5

．
（1）求tanA•tanB的值；
（2）求C的最大值，并判斷此時(shí)△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得

13

5

sin2

A+B

2

+cos2

A-B

2

=

9

5

，進(jìn)而利用二倍角公式和兩角和公式化簡(jiǎn)整理，求得tanA•tanB的值．
（2）根據(jù)tanA+tanB的值，利用兩角和公式表示出（tanA+tanB），tanC=tan[π-（A+B）]進(jìn)而利用均值不等式求得函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）∵|

a

|=

3

5

5

，∴

13

5

sin2

A+B

2

+cos2

A-B

2

=

9

5

13

5

1-cos(A+B)

2

+

1+cos(A-B)

2

=

9

5

∴13cos（A+B）=5cos（A-B）∴4cosAcosB=9sinAsinB，
∵cosAcosB≠0∴tanAtanB=

4

9

（2）由tanAtanB=

4

9

＞0，
知tanA，tanB＞0，tanA+tanB≥2

tanAtanB

=

4

3

tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

9

5

(tanA+tanB)≤-

9

5

×2

tanAtanB

=-

12

5

當(dāng)且僅當(dāng)tanA=tanB，即A=B時(shí)，tanC取得最大值-

12

5

，
所以C為鈍角，△ABC一定是鈍角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，二倍角的應(yīng)用等．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．