Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），向量

b

=（sinx，2sinx-3cosx）．

a

⊥

b

，且x∈（

π

2

，π]．
（Ⅰ）求tanx的值；
（Ⅱ）求sin（2x+

π

3

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的正切函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算列出方程，由同角函數(shù)的基本關(guān)系化簡后，由x的范圍求出tanx的值；
（Ⅱ）由倍角公式、同角函數(shù)的基本關(guān)系求出cos2x、sin2x，利用兩角和的正弦公式化簡sin（2x+

π

3

），再代入求值即可．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="dk0g95y" class="MathJye">

a

=（sinx，cosx），

b

=（sinx，2sinx-3cosx），且

a

⊥

b

，
所以

a

•

b

=0，則sin²x+cosx（2sinx-3cosx）=0，
化簡得，

sin2x+2cosxsinx-3cos2x

sin2x+cos2x

=0，即

tan2x+2tanx-3

tan2x+1

=0，
所以tan²x+2tanx-3=0，解得tanx=1或tanx=-3，
又x∈（

π

2

，π]，所以tanx=-3；
（Ⅱ）因?yàn)閠anx=-3，
所以cos2x=cos²x-sin²x=

(    )

(    )

cos2x-sin2x

sin2x+cos2x

=

1-tan2x

1+tan2x

=-

4

5

，
又x∈（

π

2

，π]，則2x∈（π，2π]
所以sin2x=-

1-cos2x

=-

3

5

，
則sin（2x+

π

3

）=sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x
=

1

2

×(-

3

5

)+

3

2

×(-

4

5

)=-

3+4 3

10

．

點(diǎn)評：本題考查倍角公式、兩角和的正弦公式，同角函數(shù)的基本關(guān)系，以及向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算等，屬于中檔題．