Question

13．若對任意x∈（0，π），不等式e^x-e^-x＞asinx恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [-2，2]
• B． （-∞，e]
• C． （-∞，2]
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 令f（x）=e^x-e^-x-asinx，分a≤0，0＜a≤2，a＞2三類討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，可判斷得：當(dāng)a≤0時，f（x）＞0；當(dāng)a＞0時，f′（x）=e^x+e^-x-acosx，①0＜a≤2，利用導(dǎo)數(shù)f′（x）＞0⇒f（x）在（0，π）上單調(diào)遞增，于是f（x）＞f（0）=0，滿足題意；②若a＞2時，令g（x）=e^x+e^-x-acosx可判斷出g（x）=f′（x）=e^x+e^-x-acosx在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，x∈（0，x₀）時，f′（x）＜0，f（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減，于是有f（x）＜f（0）=0不滿足題意，可得答案．

解答 解：令f（x）=e^x-e^-x-asinx，
當(dāng)a≤0時，∵x∈（0，π），∴e^x＞e^-x，sinx＞0，∴e^x-e^-x＞0，-asinx≥0，∴f（x）＞0；
當(dāng)a＞0時，f′（x）=e^x+e^-x-acosx，
①若0＜a≤2，∵x∈（0，π），∴e^x+e^-x＞2，acosx＜a≤2，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，π）上單調(diào)遞增，∴f（x）＞f（0）=0，滿足題意；
②若a＞2時，f′（0）=2-a＜0，f′（$\frac{π}{2}$）＞0，∴存在x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），使得f′（x₀）=0．
令g（x）=e^x+e^-x-acosx，∵g′（x）=e^x-e^-x+asinx在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，∴g′（x）＞g′（0）=0，
∴g（x）=f′（x）=e^x+e^-x-acosx在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，∴x∈（0，x₀）時，f′（x）＜0，f（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減，
∴f（x）＜f（0）=0不滿足題意．
綜上所述，a∈（-∞，2]，
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，突出考查分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合運用，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是難點，屬于難題．